ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೩೧

೩೧. ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪತ್ತೆ ಹಚ್ಚುವುದು – ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆ ವಿಧಾನ

(ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣ ಆಧಾರಿತ ವಿಶಿಷ್ಟ ನಮೂನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನ)

‘ಒಂದು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿದ್ದ ಆನೆಗಳ ಪೈಕಿ ೧/೨ ದಷ್ಟು ಮತ್ತು ೧/೨ ದ ೧/೩ ರಷ್ಟು ಆನೆಗಳು ಗುಹೆಯೊಂದರೊಳಕ್ಕೆ ಹೋದವು. ೧/೬ ರಷ್ಟು ಮತ್ತು ೧/೬ ರ ೧/೭ ರಷ್ಟು ನದಿಯಲ್ಲಿ ನೀರು ಕುಡಿಯುತ್ತಿದ್ದವು. ೧/೮ ರಷ್ಟು ಮತ್ತು ೧/೮ ರ ೧/೯ ರಷ್ಟು ಆನೆಗಳು ತಾವರೆ ಹೂಗಳು ತುಂಬಿದ್ದ ಕೊಳದಲ್ಲಿ ಆಟವಾಡುತ್ತಿದ್ದವು. ಗುಂಪಿನ ಸ್ತ್ರೀಲೋಲ ರಾಜ ಮೂರು ಹೆಣ್ಣಾನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಇದ್ದಲ್ಲಿಯೇ ಉಳಿದಿದ್ದವು. ಸನ್ನಿವೇಶ ಇಂತಿದ್ದಾಗ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿದ್ದ ಆನೆಗಳೆಷ್ಟೆಂದು ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ?’

ಬೀಜಗಣಿತದ ಹೆಸರೇ ಕೇಳದವರ ಮುಂದೆ ಇಂಥದ್ದೊಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಇಟ್ಟರೆ ಅದನ್ನು ಅವರು ಪರಿಹರಿಸಬಲ್ಲರೇ? ಪರಿಹರಿಸಬಲ್ಲರು, ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರ ಲೀಲಾವತೀಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯಿಸಿದ್ದರೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆ ಆ ಪುಸ್ತಕದ ೧೭ ನೇ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಇರುವುದರ ಭಾವಾನುವಾದ. ಇಂಥ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸುಲಭೋಪಾಯವನ್ನು ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು ಒಂದು ದ್ವಿಪದಿ ಶ್ಲೋಕದಲ್ಲಿ ತಿಳಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅದು ಇಂತಿದೆ:

‘ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಬೇಕಾದರೆ ನಿಮಗೆ ಅನುಕೂಲ ಅನ್ನಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದ ಕರ್ಮಗಳನ್ನು ಹೇಳಿದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿಯೇ ಮಾಡಿ. ತದನಂತರ ನೀವು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಂಡ ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಲಭಿಸಿದ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ನೀವು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಂಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದ ಕರ್ಮಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದರಿಂದ ಲಭಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಲಭಿಸುವ ಭಾಗಲಬ್ಧವೇ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆ’

ಅಂದಹಾಗೆ, ಮೂಲಭೂತ ಗಣೀತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದರೆ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು ಸೂಚಿಸಿದ ವಿಧಾನದಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಬೇಕಾದ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಲುಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಲ್ಲಿರಿ. ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಅಥವ ಅಪವರ್ತ್ಯವನ್ನು ಕೂಡಿಸಬೇಕಾಗಿರುವ ಅಥವ ಕಳೆಯಬೇಕಾಗಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಈ ತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಿಸಬಹುದು. ಲೀಲಾವತೀಯಲ್ಲಿ ಈ ಮೊದಲೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಏಳು ಅಂಥದ್ದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನೇ ಈ ತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗ ವಿವರಿಸಲು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ ೧: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದನ್ನು ೫ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಲಭಿಸಿದ ಗುಣಲಬ್ಧದಿಂದ ಅದರ ೧/೩ ರಷ್ಟನ್ನು ಕಳೆದರೆ ದೊರೆಯುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ೧೦ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿ ದೊರಕಿದ ಭಾಗಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಇದ್ದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ೧/೨ ದಷ್ಟನ್ನೂ ೧/೩ ರಷ್ಟನ್ನೂ ೧/೪ ರಷ್ಟನ್ನೂ ಕೂಡಿಸಿದರೆ ೬೮ ಆಗುತ್ತದೆ. ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಇದ್ದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು?

ಸಮಸ್ಯೆ ೨: ಲೇಖನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪೀಠಿಕೆಯಾಗಿ ನೀಡಿದ ಸಮಸ್ಯೆ.

ಸಮಸ್ಯೆ ೩: ತಾವರೆ ಹೂವುಗಳ ಜೊಂಪೆಯೊಂದರಲ್ಲಿ ಇದ್ದ ಹೂವುಗಳ ೧/೩ ರಷ್ಟನ್ನು ಶಿವನಿಗೂ, ೧/೫ ರಷ್ಟನ್ನು ವಿಷ್ಣುವಿಗೂ ೧/೬ ರಷ್ಟನ್ನು ಸೂರ್ಯನಿಗೂ ೧/೪ ರಷ್ಟನ್ನು ಇಷ್ಟದೇವತೆಗೂ ಅರ್ಪಿಸಿ ಉಳಿದ ೬ ಹೂವುಗಳನ್ನು ಗುರುವಿಗೆ ಅರ್ಪಿಸಲಾಯಿತು. ಜೊಂಪೆಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ತಾವರೆ ಹೂವುಗಳಿದ್ದವು ಅನ್ನುವುದನ್ನು ವೇಗವಾಗಿ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚು.

ಸಮಸ್ಯೆ ೪: ದಂಪತಿಗಳು ಸರಸಸಲ್ಲಾಪದಲ್ಲಿ ನಿರತರಾಗಿದ್ದಾಗ ಪತ್ನಿಯ ಮುತ್ತಿನ ಹಾರ ತುಂಡಾಯಿತು. ಇದ್ದ ಮುತ್ತುಗಳ ಪೈಕಿ ೧/೩ ರಷ್ಟು ನೆಲಕ್ಕೆ ಬಿತ್ತು, ೧/೫ ರಷ್ಟು ಹಾಸಿಗೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಕೊಂಡಿತು, ಪತ್ನಿಯು ಹಾಸಿಗೆಯಿಂದ ೧/೬ ರಷ್ಟನ್ನೂ ಪತಿ ೧/೧೦ ರಷ್ನ್ನೂ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದರು. ಹಾರದ ದಾರದಲ್ಲಿ ೬ ಮುತ್ತುಗಳು ಉಳಿದಿದ್ದವು. ಹಾರದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು ಮುತ್ತುಗಳಿದ್ದವು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ.

ಸಮಸ್ಯೆ ೫: ಆಭರಣ ಮಾಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲೋಸುಗ ಪ್ರೇಮಿಯೊಬ್ಬ ತನ್ನ ಭಾವೀ ವಧುವಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಅನರ್ಘ್ಯ ರತ್ನಗಳನ್ನು ಕೊಟ್ಟನು. ಅವುಗಳ ಪೈಕಿ ೧/೮ ರಷ್ಟನ್ನು ಹಣೆಯನ್ನು ಅಲಂಕರಿಸುವ ಆಭರಣಕ್ಕಾಗಿ ವಿನಿಯೋಗಿಸಿದಳು. ಉಳಿದದ್ದರ ೩/೭ ರಷ್ಟರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಾರ ಮಾಡಿಸಿದಳು. ಉಳಿದದ್ದರ ಅರ್ಧದಷ್ಟರಿಂದ ತೋಳ್ಬಂದಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಿಸಿದಳು. ಉಳಿದದ್ದರ ಮುಕ್ಕಾಲು ಭಾಗವನ್ನು ಕಿರುಗಂಟೆಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಸೊಂಟದ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿಸಲು ಉಪಯೋಗಿಸಿದಳು. ಉಳಿದ ೧೬ ರತ್ನಗಳಿಂದ ತನ್ನ ಕೇಶರಾಶಿಯನ್ನಲಂಕರಿಸಿದಳು. ಹಾಗಾದರೆ, ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಅವಳಿಗೆ ಸಿಕ್ಕಿದ್ದ ರತ್ನಗಳೆಷ್ಟೆಂಬುದನ್ನು ಥಟ್ಟನೆ ಹೇಳು.

ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಅಥವ ಅಪವರ್ತ್ಯವನ್ನು ಕೂಡಿಸಬೇಕಾಗಿರುವ ಅಥವ ಕಳೆಯ ಬೇಕಾಗಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವುದು ಹೇಗೆಂಬುದನ್ನು ಈಗ ನೀವು ತಿಳಿದಿರುವುದರಿಂದ ಮುಂಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಲ್ಲಿರಿ ಎಂದು ನಂಬಿದ್ದೇನೆ.

 

ಸಮಸ್ಯೆ ೬: ಓ ಮಿತ್ರನೇ, ಜೇನುಗೂಡೊಂದರಲ್ಲಿ ಇದ್ದ ಜೇನುನೊಣಗಳ ಪೈಕಿ ೧/೬ ರಷ್ಟು ಪಾಟಲಿ ಹೂವುಗಳತ್ತವೂ ೧/೩ ರಷ್ಟು ಕದಂಬ ಮರದತ್ತವೂ ೧/೪ ರಷ್ಟು ಮಾವಿನ ಮರದತ್ತವೂ ೧/೫ ರಷ್ಟು ಅರಳಿದ ಚಂಪಕ ಹೂವುಗಳಿರುವ ಮರದತ್ತವೂ ೧/೩೦ ರಷ್ಟು ರವಿಕಿರಣಗಳಿಂದ ಅರಳಿದ ತಾವರೆಗಳತ್ತವೂ ಹೋದವು. ಒಂದೇ ಒಂದು ಜೇನುನೊಣ ಅತ್ತಿಂದಿತ್ತ ಹಾರಾಡುತ್ತಿದ್ದರೆ ಗೂಡಿನಲ್ಲಿದ್ದ ಜೇನುನೊಣಗಳೆಷ್ಟು?

ಸಮಸ್ಯೆ ೭: ಒಬ್ಬ ಯಾತ್ರಿಕನು ತನ್ನ ಹತ್ತಿರವಿದ್ದ ಹಣದ ಅರ್ಧದಷ್ಟನ್ನು ಪ್ರಯಾಗದಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಹ್ಮಣರಿಗೆ ದಾನ ಮಾಡಿದನು. ಉಳಿದಿದ್ದ ಹಣದ ೨/೯ ರಷ್ಟನ್ನು ಕಾಶಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಯಿಸಿದನು. ಉಳಿದ ಹಣದ ಕಾಲು ಭಾಗವನ್ನು ಸುಂಕವಾಗಿ ಕೊಟ್ಟನು. ಉಳಿದ ಹಣದ ೬/೧೦ ರಷ್ಟನ್ನು ಗಯಾದಲ್ಲಿ ವ್ಯಯಿಸಿದನು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಮನೆಗೆ ಹಿಂದಿರುಗಿದಾಗ ಅವನ ಹತ್ತಿರ ೬೩ ರೂಪಾಯಿಗಳು ಉಳಿದಿದ್ದವು, ಹಾಗಿದ್ದರೆ ಅವನು ಎಷ್ಟು ಹಣ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಹೋಗಿದ್ದ?

(ವಿ ಸೂ. ಪ್ರತೀ ಹಂತದಲ್ಲಿಯೂ ಉಳಿದಿದ್ದ ಹಣದ ಎಂದಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಖರ್ಚು ಮಾಡಿದ ನಂತರ ಉಳಿದ ಹಣ ಎಂದು ಇದನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿ ಅದಕ್ಕೆ ತಕ್ಕಂತೆ ಗಣಿತ ಕರ್ಮ ಮಾಡಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಇಂಥದ್ದೂ ಒಂದಿದೆ. ಮೂಲ ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ ರೂಪಾಯಿ ಎಂಬ ಪದದ ಬದಲು ಅಂದು ಚಾಲ್ತಿಯಲ್ಲಿದ್ದ ಹಣದ ಹೆಸರಿದೆ)

ಸಮಸ್ಯೆ ೮: ಓ ಹರಿಣಾಕ್ಷಿಯೇ, ಜೇನುಗೂಡೊಂದರಲ್ಲಿ ಇದ್ದ ಜೇನುನೊಣಗಳ ಪೈಕಿ ೧/೫ ರಷ್ಟು ಕದಂಬ ಮರದತ್ತವೂ ೧/೩ ರಷ್ಟು ಶಿಲೀಂದ್ರ ಮರದತ್ತವೂ ಹೋದವು. (೧/೩ – ೧/೫) x ೩ ರಷ್ಟು ಕುಟಜ ಮರದ ಸುತ್ತ ಹಾರಾಡುತ್ತಿದ್ದವು. ೧ ಜೇನುನೊಣ ಮಾತ್ರ ಕೇತಕೀ ಮತ್ತು ಮಾಲತೀ ಬಳ್ಳಿಗಳು ಹೊರಸೂಸುತ್ತಿದ್ದ ಸುವಾಸನಯಿಂದ ಾಕರ್ಷಿತವಾಗಿ ಅತ್ತಿಂದಿತ್ತ ಹಾರಾಡುತ್ತಿತ್ತು.  ಗೂಡಿನಲ್ಲಿದ್ದ ಜೇನುನೊಣಗಳೆಷ್ಟೆಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿ?

ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು ವಿವರಿಸಿದ ‘ಹಿಮ್ಮುಖ ಪ್ರಕ್ರಿಯಾ’ ವಿಧಾನದಿಂದ ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಿಕೆ ಮುಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ.

Advertisements
This entry was posted in ಗಣಿತ-ಕಲಿಯಲು ಬಲು ಸುಲಭ. Bookmark the permalink.

ನಿಮ್ಮದೊಂದು ಉತ್ತರ

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s