ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೨೭

೨೭ . ವರ್ಗ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗದ ಉಪಯೋಗ

ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುವುದು ಹೇಗೆಂಬುದನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿದ್ದೀರಿ (ನೋಡಿ: ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೨೬). ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ೪ ಮತ್ತು ೭ ನೇ ಕಂತುಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರಮಾಡಲು (ನೋಡಿ: ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೪ ಮತ್ತು  ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೭) ಹಾಗೂ ವರ್ಗ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸುವುದು ಹೇಗೆಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಂದರೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದಲೇ ಗುಣಿಸುವುದು ಎಂಬ ವಿಷಯ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದೇ ಇದೆ. ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗವನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಎಷ್ಟೇ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಬಲು ಸುಲಭವಾಗಿಯೂ ವೇಗವಾಗಿಯೂ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಹೇಗೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮನೋಗತ ಮಾಡಿಕೋಡರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನೂ ಸುಲಭವಾಗಿಯೂ ವೇಗವಾಗಿಯೂ ಮಾಡುವುದನ್ನೂ ಕಲಿಯಬಹುದು.

ಹಿಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ ತಿಳಿಸಿದ್ದ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಇನ್ನೊಮ್ಮೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತೇನೆ. ಅವು ಇಂತಿವೆ:

* ಒಂದು ಅಂಕಿಯುಳ್ಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆ: ೮ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = ೮ = ೬೪.)

* ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಂಕಿಗಳಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಸಮದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಎರಡರಷ್ಟರ ಮೊತ್ತವೇ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ  [ಉದಾಹರಣೆ: ೧೨೩೪ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = (೨ x ೧ x ೪) + (೨ x ೨ x ೩) = ೨೦]

* ಬೆಸಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಂಕಿಗಳಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕಿಯ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಸಮದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಎರಡರಷ್ಟರ ಮೊತ್ತವೇ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ [ಉದಾಹರಣೆ: ೧೨೩೪೫ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = (೩) + (೨ x ೧ x ೫) + (೨ x ೨ x ೪) = ೩೫]

ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಹೇಗೆ ಉಪಯೋಗಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಒಂದ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ. ಜಾಗರೂಕತೆಯಿಂದ  ಅಧ್ಯಯಿಸಿ.

೧೨೩೪೫೬ ಆರು ಅಂಕಿಗಳುಳ್ಳ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಸಮಸ್ಯೆ: ೧೨೩೪೫೬ =?. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಎರಡರಷ್ಟು ಅಥವ ಎರಡರಷ್ಟಕ್ಕಿಂತ ಒಂದು ಕಮ್ಮಿ ಅಂಕಿಗಳು ಇರುತ್ತವಲ್ಲವೆ? ಅಂದ ಮೇಲೆ ಈ ಅಂಕಿಯ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ೧೨ ಅಥವ ೧೧ ಅಂಕಿಗಳು ಇರಬೇಕು. ಏಕ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಎಲ್ಲ ೧೧ ಅಥವ ೧೨ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಇರಬೇಕಾದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಬಲು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪತ್ತೆ ಹಚ್ಚಲು ನೆರವು ನೀಡುತ್ತದೆ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಇದಕ್ಕೆ ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾದದ್ದು ಇಷ್ಟು (ಗಮನಿಸಿ: ಈ ಮುಂದೆ ವಿವರಿಸಿದ ಎಲ್ಲ ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಿದೆ. ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಕ್ರಮಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೇ ತನ್ನ ಕ್ರಮಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಉಳ್ಳ ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ) –

(೧) ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆದು ಅದರ ಕೆಳಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದ ಅಡ್ಡಗೆರೆ ಎಳೆಯಿರಿ. ಆ ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ  ಉತ್ತರದ ೧೧ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಭರ್ತಿಮಾಡಲು ೧೧ ಅಂಕಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಪ್ರತೀ ಅಂಕಣ ಸುಮಾರು ೩ ಅಂಕಿಗಳುಳ್ಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಬರೆಯುವಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಲಿ.

(೨) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ  ಒಂದು ಅಂಕಿಯ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೬ ರ ದ್ವಂದ್ವಯೋಗ = ೬ = ೩೬.

(೩) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ  ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಎರಡನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೫೬ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = ೨ x ೫ x ೬ = ೬೦

(೪) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಮೂರು ಅಂಕಿಗಳು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಮೂರನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೪೫೬ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = ೫ + ೨ x ೪ x ೬ = ೭೩

(೫) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ನಾಲ್ಕು ಅಂಕಿಗಳು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ನಾಲ್ಕನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೩೪೫೬ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = ೨ x ೩ x ೬ + ೨ x ೪ x ೫ = ೭೬

(೬) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಐದು ಅಂಕಿಗಳು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಐದನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೨೩೪೫೬ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = ೪ + ೨ x ೨ x ೬ + ೨ x ೩ x ೫ = ೭೦

(೭) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಆರು ಅಂಕಿಗಳು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಆರನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೧೨೩೪೫೬ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = ೨ x ೧ x ೬ + ೨ x ೨ x ೫ + ೨ x ೩ x ೪ = ೫೬

ಗಮನಿಸಿ: ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಹಂತದಿಂದ ಹಂತಕ್ಕೆ ‘ಒಂದು’ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದ್ದದ್ದನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನಂಬುತ್ತೇನೆ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇನ್ನು ಅಂಕಿಗಳೇ ಉಳಿದಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಆದರೂ ಇದೇ ಕ್ರಮ ಅನುಸರಿಸಬೇಕು. ಇನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳೇ ಉಳಿದಿಲ್ಲ ಅನ್ನುವ ಹಂತ ತಲುಪಿದರೆ ಒಟ್ಟು ಹಂತಗಳ ಅರ್ಧ ಭಾಗ ಮುಗಿದಿದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಈ ಹಂತ ತಲುಪಿದ ನಂತರ ಬಲತುದಿಯಿಂದ ಹಂತದಿಂದ ಹಂತಕ್ಕೆ ಒಂದೊಂದೇ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದವುಗಳು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬರೆಯುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಬೇಕು.

(೮) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಒಂದು ಅಂಕಿಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದವು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಏಳನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೧೨೩೪೫ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = ೩ + ೨ x ೧ x ೫ + ೨ x ೨ x ೪ = ೩೫

(೯) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದವು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಎಂಟನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೧೨೩೪ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = ೨ x ೧ x ೪ + ೨ x ೨ x ೩ = ೨೦

(೧೦) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಮೂರು ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದವು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಒಂಭತ್ತನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೧೨೩ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = ೨+ ೨ x ೧ x ೩ = ೧೦

(೧೧) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ನಾಲ್ಕು ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದವು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಹತ್ತನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೧೨ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = ೨ x ೧ x ೨ = ೪

(೧೨) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಲತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಐದು ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದವು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಬಲ ತುದಿಯಿಂದ ಹನ್ನೊಂದನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ೧ ರ ದ್ವಂದ್ವ-ಯೋಗ = ೧ = ೧

ಗಮನಿಸಿ: ಈ ವರೆಗೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಂತೆ ಒಂದು ಅಂಕಿ ಕಮ್ಮಿ ಮಾಡಿ ಮುಂದಿನ ಹಂತಕ್ಕೆ ಸಾಗಲು ಇನ್ನು ಅಂಕಿಗಳೇ ಉಳಿದಿಲ್ಲ. ಅರ್ಥಾತ್, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವರ್ಗವನ್ನು ಬರೆಯುವ ಹಂತ ತಲುಪಿದ್ದೇವೆ.

(೧೩) ಬಲತುದಿಯ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಯೇ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವರ್ಗದ ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿ. ಅದನ್ನು ಒಂದೆಡೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಆದನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದವನ್ನು ಬಲತುದಿಯಿಂದ ಎರಡನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕೂಡಿಸಿ. ಈ ಮೊತ್ತದ ಏಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿಯೇ ವರ್ಗದ ದಶಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿ. ಅದನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಬರೆದಿರುವ ಏಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿಯ ಎಡಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಅದನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದವನ್ನು ಮೂರನೇ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕೂಡಿಸಿ. ಮೊತ್ತದ ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಯೇ ವರ್ಗದ ಶತಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿ. ಈಗಾಗಲೇ ಬರೆದಿರುವ ಅಂಕಿಗಳ ಎಡಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಇದೇ ರೀತಿ ವರ್ಗದ ಇತರ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳನ್ನೂ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಿ ಬರೆಯಿರಿ.

ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗ ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದೆ. ಸರಿಯೇ? ನೀವೇ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ ನೋಡಿ.

ಈ ತಂತ್ರವನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗಿಸುವ ವಿಧಾನ ಮುಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ.

Advertisements
This entry was posted in ಗಣಿತ-ಕಲಿಯಲು ಬಲು ಸುಲಭ. Bookmark the permalink.

ನಿಮ್ಮದೊಂದು ಉತ್ತರ

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s