ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೨೪

೨೪ . ವರ್ಗಮೂಲ

ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು ಸೂಚಿಸಿದ ತಂತ್ರಾಧ್ಯಯನ ಆರಂಭಿಸುವ ಮುನ್ನ ಕಳೆದ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ ಒದಗಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಇನ್ನೊಂದು ಅಂಶದತ್ತ ನಿಮ್ಮ ಗಮನ ಸೆಳೆಯಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ಆ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಲ್ಲವೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದವು (ನೋಡಿ; ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೨೩). ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ದಶಮಾಂಶಗಳೂ ಇದ್ದರೆ ಅಥವ ಸಂಖ್ಯೆ ಪೂರ್ತಿಯಾಗಿ ದಶಮಾಂಶವೇ ಆಗಿದ್ದರೆ ಏನು ಮಾಡ ಬೇಕು. ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ಎಡಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿ ಬಲಭಾಗದಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಎಡಭಾಗದತ್ತ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಜೋಡಿಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ, ಬಲಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿ ಎಡಭಾಗದಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಬಲಭಾಗದತ್ತ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಜೋಡಿಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ. ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ಎಡಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಂಕಿಗಳು ಇರಬಹುದಾದರೂ ಬಲಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿ ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿಯೇ ಅಂಕಿಗಳು ಇರಬೇಕು. ಇಲ್ಲದೇ ಇದ್ದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವರ್ಗಮೂಲ ಇರುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಇಲ್ಲ.. ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಎಷ್ಟು ಅಂಕಿಗಳಿರುತ್ತವೋ ಅದರ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಅಂಕಿಗಳು ವರ್ಗಮೂಲದಲ್ಲಿ ಇರಬೇಕಾದದ್ದು ಕಡ್ಡಾಯವಾದ್ದರಿಂದ ಈ ಕ್ರಮ. ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು ಸೂಚಿಸಿದ ತಂತ್ರ:

ಹಂತ ೧: ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪೂರ್ವೋಕ್ತ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಎರಡೆರಡು ಅಂಕಿಗಳ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ.

ಹಂತ ೨: ಎಡ ತುದಿಯ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಕಳೆಯಬಹುದಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಿ ಆ ಗುಂಪಿನ ಕೆಳಗೆ ಸ್ಥಾನಬೆಲೆಗನುಗುಣವಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ. ನೇರ ಭಾಗಹಾರದಲ್ಲಿ ಮಾಡುವಂತೆ ಕಳೆದು ಲಭಿಸಿದ್ದನ್ನು ಒಂದು ಅಡ್ಡಗೆರೆ ಎಳೆದು ಅದರ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ.  ಕಳೆದ ವರ್ಗದ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಲತುದಿಯ ನಂತರ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಬರೆಯಿರಿ (ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಿಲ್ಲ, ಇನ್ನು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಅದು ಎದುರಾದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ, ಏಕೆ ಎಂಬುದು ಕೊನೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ, ಇದು ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಚಿಹ್ನೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅಲ್ಲಿ ಬರೆದ ಸಂಖ್ಯೆ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಮೊದಲನೇ ಅಂಕಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ?. ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಮೂಲ, ಪಂಕ್ತಿ ಎಂಬ ಶಿರೋನಾಮವುಳ್ಳ ಎರಡು ನೀಟಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿ. ಮೂಲ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಮೊದಲನೇ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಅದರ ಎರಡರಷ್ಟನ್ನು ಪಂಕ್ತಿ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಇದು ಮುಂದಿನ ಹಂತದ ಭಾಜಕ.

ಹಂತ ೩: ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಂದಿನ ಅಂಕಿಯನ್ನು  ನೇರ ಭಾಗಹಾರದಲ್ಲಿ ಮಾಡುವಂತೆ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಒಯ್ದು ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಇಂತು ದೊರೆತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಂಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಶೇಷ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಂದಿನ ಅಂಕಿಯನ್ನು  ನೇರ ಭಾಗಹಾರದಲ್ಲಿ ಮಾಡುವಂತೆ ಶೇಷದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

ಹಂತ ೪: ಭಾಗಲಬ್ಧವನ್ನು ಮೂಲ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಈ ಹಿಂದೆಯೇ ಬರೆದಿದ್ದ ಅಂಕಿಯ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಈ ಭಾಗಲಬ್ಧವೇ ವರ್ಗಮೂಲದ ಎರಡನೆಯ ಅಂಕಿ. ಇದರ ಎರಡರಷ್ಟನ್ನು ಪಂಕ್ತಿ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ಬರೆದದ್ದರ ಕೆಳಗೆ ಒಂದು ಸ್ಥಾನ ಮುಂದೆ ತಳ್ಳಿ ಬರೆಯಿರಿ (ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಹಿಕೆ ಸುಲಭವಾಗಲಿ ಎಂದು ಎಡತುದಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ೦ ಲಗತ್ತಿಸಿದೆ. ಅಭ್ಯಾಸವಾದ ಬಳಿಕ ಇದನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸಬೇಕಿಲ್ಲ)

ಹಂತ ೫: ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಂದಿನ ಅಂಕಿಯನ್ನು  ನೇರ ಭಾಗಹಾರದಲ್ಲಿ ಮಾಡುವಂತೆ ಶೇಷದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಬರೆದು ಉಂಟಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ವರ್ಗಮೂಲದ ಎರಡನೆಯ ಅಂಕಿಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ. ಉಳಿದ ಶೇಷದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಂದಿನ ಅಂಕಿಯನ್ನು  ಬರೆಯಿರಿ. ಪಂಕ್ತಿ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಒಂದು ಅಡ್ಡಗೆರೆ ಎಳೆದು ಅದರ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಿರಿ.

ಹಂತ ೬: ಈ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಭಾಜಕವಾಗಿಸಿ ಶೇಷ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಪಡೆಯಿರಿ. ಇದೇ ವರ್ಗಮೂಲದ ೩ ನೆಯ ಅಂಕಿ. ಈ ಹಿಂದೆ ಮಾಡಿದಂತೆ ಇದನ್ನು ಮೂಲ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿಯೂ ಇದರ ಎರಡರಷ್ಟನ್ನು ಪಂಕ್ತಿನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಹಿಂದಿನ ಮೊತ್ತದ ಕೆಳಗೆ ಒಂದು ಸ್ಥಾನ ಮುಂದೆ ತಳ್ಳಿ ಬರೆಯಿರಿ.

ಹಂತ ೭:

ವರ್ಗಮೂಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಂಕಿಗಳು ಮುಗಿಯುವ ವರೆಗೆ ಹಂತ ೫ ಮತ್ತು ೬ ಅನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ. ಸಂಖ್ಯೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಕೆಳಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಿದ ನಂತರ ಶೇಷ ೦ ಆಗುತ್ತದೆ.

ಕೊನೆಯ ಹಂತ: ಮೂಲ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನಿಂದ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬರೆದರೆ ಉಂಟಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವರ್ಗಮೂಲ. ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದು ಹಾಕುವ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾದದ್ದು ಇಷ್ಟು: ವರ್ಗಮೂಲದಲ್ಲಿ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಎಷ್ಟು ಅಂಕಿಗಳು ಇರಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಿ (ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಎಷ್ಟು ಅಂಕಿಗಳಿವೆಯೋ ಅದರ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಅಂಕಿಗಳು ವರ್ಗಮೂಲದಲ್ಲಿ ದಶಮಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ನಂತರ ಇರಬೇಕು) ಯುಕ್ತ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ಪಂಕ್ತಿ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂತಿಮ ಮೊತ್ತವನ್ನು ೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೂ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ತ್ತರ ದೊರೆಯುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಕಳೆಯುವಾಗ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಉತ್ತರವಾಗಬಹುದು. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಿಮಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವಾಗಿರದೇ ಇರಬಹುದು. ಅಂಥ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬೇಕಾದ್ದೇನು ಎಂಬ ಮಾಹಿತಿ ಮುಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ.

Advertisements
This entry was posted in ಗಣಿತ-ಕಲಿಯಲು ಬಲು ಸುಲಭ. Bookmark the permalink.

ನಿಮ್ಮದೊಂದು ಉತ್ತರ

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s