ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೨೦

೨೦ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ – – – – -(ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗ)

ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದ ೧ ಆಗಿರದೇ ಇದ್ದಾಗ ಹಿಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ತಂತ್ರದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಬದಲಾವನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ ಈ ಕಂತಿನ ಲೇಖನ.

೧ ಅಂಶವಾಗಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ ದೊರೆಯುವ ಮೊದಲನೇ ಶೇಷ ೧ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಎರಡನೇ ಶೇಷವನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ ಅದನ್ನು ಗುಣಕವಾಗಿರಿಸಿಕೊಂಡು ಇತರ ಶೇಷಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಿದ್ದೆವು. ೧ ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ ಮೊದಲನೇ ಶೇಷ  ೧ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೇ ಶೇಷವನ್ನು ಗುಣಕವಾಗಿರಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾದ್ಯವಾಗದಿರುವ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ.

ಉದಾ ೧: ೩/೭, ಮೊದಲನೇ ಶೇಷ: ೩. ಎರಡನೇ ಶೇಷ: ೩೦/೭=೨. ಎರಡನೇ ಶೇಷಕ್ಕೂ ಮೊದಲನೇ ಶೇಷಕ್ಕೂ ಇರುವ ಅನುಪಾತ: ೨:೩. ಆದ್ದರಿಂದ ಇತರ ಶೇಷಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಉಪಯೋಗಿಸಬೇಕಾದ ಗುಣಕ: ೩/೨.

ಉದಾ ೨: ೪/೧೩. ಮೊದಲನೇ ಶೇಷ: ೩. ಎರಡನೇ ಶೇಷ: ೪೦/೧೩: ೧. ಎರಡನೇ ಶೇಷಕ್ಕೂ ಮೊದಲನೇ ಶೇಷಕ್ಕೂ ಇರುವ ಅನುಪಾತ: ೪:೧. ಆದ್ದರಿಂದ ಇತರ ಶೇಷಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಉಪಯೋಗಿಸಬೇಕಾದ ಗುಣಕ: ೧ /೪.

ಈ ಎರಡೂ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಗುಣಕಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲ. ಇಂಥ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಏಕೈಕ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ನೆರವಿನಿಂದ ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ. ಇದನ್ನು ಹೊರತು ಪಡಿಸಿದರೆ ತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗದ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನೂ ಮಾಡಬೇಕಿಲ್ಲ (ಪುನರಾವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶವನ್ನು ೧ ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಉತ್ತರ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಿ, ಅದನ್ನು ನಿಜವಾದ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಉತ್ತರ ಪಡೆಯಬಹುದಾದರೂ ತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗದಿಂದ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು). ಈಗ ಮುಂದೆ ನೀಡಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಈ ಮುಂದೆ ನಕ್ಷಾತ್ಮಕ ವಿವರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ನೀಡಿರುವ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

 

ಈ ಕಂತನ್ನು ಮುಗಿಸುವ ಮುನ್ನ ಕೆಲವು ಪುನರಾವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಕುತೂಹಲಜನಕ  ಎರಡು ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ

(೧) ಕೆಲವು ಪುನರಾವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಎರಡು ಸಮಪಾಲುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ ಒಂದರ ಕೆಳಗೊಂದರಂತೆ ಬರೆದು ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎಲ್ಲ ಅಂಕಿಗಳೂ ೯ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

(೨) ೧/೭ ರ ಪುನವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶಗಳ ಅಂಕಿಗಳ ಪೈಕಿ ೨ ನೇ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಿಯಿಂದಾರಂಭಿಸಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಇತರ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಬರೆದರೆ ಅದು ೨/೭ ರ ರೂಪಾಂತರವೂ, ೩ ನೇ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಿಯಿಂದಾರಂಭಿಸಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಇತರ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಬರೆದರೆ ಅದು ೩/೭ ರ ರೂಪಾಂತರವೂ ೪ ನೇ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಿಯಿಂದಾರಂಭಿಸಿದರೆ ೪/೭ ರ ರೂಪಾಂತರವೂ ೫ ನೇ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಿಯಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿದರೆ ೫/೭ ರ ರೂಪಾಂತರವೂ ೬ ನೇ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಿಯಿಂದಾರಂಭಿಸಿದರೆ ೬/೭ ರ ರೂಪಾಂತರವೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ!

೯ ರಿಂದ ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳುವ ಛೇದಗಳಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಗಳು ಮುಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ.

Advertisements
This entry was posted in ಗಣಿತ-ಕಲಿಯಲು ಬಲು ಸುಲಭ. Bookmark the permalink.

ನಿಮ್ಮದೊಂದು ಉತ್ತರ

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s