ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೧೯

೧೯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ – – – – -(ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗ)

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ದಶಮಾಂಶಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿಯೂ ಬರೆಯಬಹುದೆಂಬ ವಿಷಯ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂದು ನಂಬಿದ್ದೇನೆ. ಉದಾ.: ೧/೨ = ೦,೫, ೧/೪ = ೦.೨೫. ಈ ಕುರಿತಾಗಿ ವೇದಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಕುತೂಹಲಜನಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ.

(೧) ೨, ೫ ಈ ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವ ಇವೆರಡರ ಪೈಕಿ ಯಾವುದಾದರೊಂದು ಛೇದದ ಅಪವರ್ತನಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಅಪುನರಾವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯ.

(೨) ೨, ೫ ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ ಕನಿಷ್ಠಪಕ್ಷ ಒಂದಾದರೂ ಛೇದದ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಪೈಕಿ ಒಂದು ಅಪವರ್ತನ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಅಪುನರಾವರ್ತಕ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶಗಳೆರಡೂ ಮಿಶ್ರವಾಗಿರುವ ದಶಮಾಂಶಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯ.

(೩) ೨, ೫ ಇವುಗಳ ಪೈಕಿ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಛೇದದ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಪೈಕಿ ಒಂದು ಅಪವರ್ತನ ಆಗಿರದೇ ಇದ್ದರೆ, ಅರ್ಥಾತ್ ಅಪವರ್ತನಗಳೆಲ್ಲವೂ ೩, ೭, ೧೧ ಇವೇ ಮೊದಲಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯು ಪುನರಾವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

(೪) ಅಪುನರಾವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಅಪವರ್ತನಗಳಿರುತ್ತವೆಯೋ ಅಷ್ಟು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳಿರುತ್ತವೆ.

(೫) ಅಪುನರಾವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದಾದ ೧ ಅಂಶವಾಗಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಛೇದದ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ದಶಮಾಂಶಗಳ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿ ೦ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

(೬) ಪುನರಾವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದಾದ ೧ ಅಂಶವಾಗಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಛೇದದ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶಗಳ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿ ೯ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದ ಮೇಲೆ ಛೇದ ೨೩ ಆಗಿದ್ದರೆ ದಶಮಾಂಶಗಳ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿ ಯಾವುದಾಗಿರುತ್ತದೆಂದು ಭವಿಷ್ಯ ನುಡಿಯಬಲ್ಲಿರಾ?

(೭) ಪುನರಾವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲು ನೇರ ಭಾಗಾಹಾರವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಸುಲಭ ಮಾರ್ಗೋಪಾಯಗಳಿವೆಯೇ? ವೇದಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಇಂಥ ಉಪಾಯಗಳ ಉಲ್ಲೇಖವಿದೆ. ಅವನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನಾಧರಿಸಿ ತಂತ್ರ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದನ್ನು ರೂಢಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಪುನರಾವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸುವುದು. ತಂತ್ರ ೧

ಈ ತಂತ್ರವನ್ನು ಅಭ್ಯಸಿಸಲು ಭಿನ್ನರಾಶಿ ೧/೭ ಮತ್ತು ೧/೧೩ ಅನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ೧/೩ = .೩೩೩೩೩೩—. ೧/೯ = .೧೧೧೧೧೧— ಮತ್ತು ೧/೧೧ = .೦೯೦೯೦೯೦ ಆದುದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಲು ಸುಲಭದ ಮಾರ್ಗೋಪಾಯಗಳ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಅವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿಲ್ಲ.

ನೇರ ಭಾಗಾಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಈ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಒಳಪಡಿಸಿದಾಗ ಪ್ರತೀ ಹಂತದಲ್ಲಿ ದೊರೆಯುವ ಶೇಷಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ಅವು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿವೆ). ಮೊದಲನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ದೊರೆತ ಶೇಷ ೧. ಅದೇ ಶೇಷ ಪುನಃ ದೊರೆಯುವ ವರೆಗೆ ಭಾಗಾಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮುಂದುವರಿದಿದೆ. ತದನಂತರ ಮುಂದುವರಿಸುವ ಅಗತ್ಯ ಏಕಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವೇ ಊಹಿಸಬಹುದು.

೧/೭ ಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮೊದಲನೇ ಶೇಷ ೧ ಅನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಶೇಷಗಳ ಸರಣಿ ಇಂತಿದೆ:

೩, ೨, ೬, ೪, ೫, ೧.

ಅಂಶ ೧ ಆಗಿರುವ ಎಲ್ಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಮೊದಲನೇ ಶೇಷ ೧ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಂದೇ ಅದನ್ನು ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಿಲ್ಲ. ಮೊದಲನೇ ಶೇಷ ೧, ೆರಡನೇ ಶೇಷ ೩. ಇವೆರಡರ ಅನುಪಾತ ೧:೩. ಅರ್ಥಾತ್, ಮೊದಲನೇ ಶೇಷದ ೩ ರಷ್ಟು ಎರಡನೇ ಶೇಷವಿದೆ. ಎರಡನೇ ಶೇಷ ೩, ಅದರ ಮೂರರಷ್ಟು ೯. ಇದು ೭ ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದು. ಭಾಜಕಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಶೇಷ ಇರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ೯ ರಿಂದ ೭ ಅನ್ನು ಒಂದು ಬಾರಿ ಕಳೆದರೆ ಲಭಿಸುತ್ತದೆ ೨. ಇದೇ ನಮ್ಮ ಶೇಷಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೇ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಈಗ ಮುಂದುವರಿಸೋಣ. ೨ ರ ಮೂರರಷ್ಟು ಅಂದರೆ ೬. ಶೇಷಗಳ ಸರಣಿಯ ೩ ನೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೇ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ೬ ರ ಮೂರರಷ್ಟು ಅಂದರೆ ೧೮. ಇದು ೭ ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದು. ಇದರಿಂದ ೭ ಅನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಕಳೆದರೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ೪. ಶೇಷಗಳ ಸರಣಿಯ ೪ ನೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೇ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ೪ ರ ೩ ರಷ್ಟು ಅಂದರೆ ೧೨. ಇದರಿಂದ ೭ ಅನ್ನು ಒಂದು ಬಾರಿ ಕಳೆದರೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ೫. ಶೇಷಗಳ ಸರಣಿಯ ೫ ನೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೇ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ೫ ರ ೩ ರಷ್ಟು ಅಂದರೆ ೧೫. ಇದರಿಂದ ೭ ಅನ್ನು ಒಂದು ಬಾರಿ ಕಳೆದರೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ೧. ಶೇಷಗಳ ಸರಣಿಯ ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೇ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಶೇಷ ೧ ದೊರೆತ ಬಳಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮುಂದುವರಿಸುವ ಆವಶ್ಯಕತೆ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದೆಯಷ್ಟೆ?

ಮೋದಲನೆಯ ಶೇಷ ೧ ಅಗಿರುವ ಪುನರಾವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯ ಶೇಷವನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದರೆ ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ ೨ ಮತ್ತು ೧ ನೇ ಶೇಷಗಳ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತ. ಇದು ತಿಳಿದರೆ ಮುಂದಿನ ಶೇಷಗಳನ್ನು ನೇರ ಭಾಗಾಹಾರ ಮಾಡದೆಯೇ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿಯೇ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು. ನಿಜವಾದ ಎರಡನೇ ಶೇಷವನ್ನು ಸರಣಿಯ ಮೊದಲನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಅದನ್ನು ಅನುಪಾತ ಸೂಚೀಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಗುಣಲಬ್ಧ ಭಾಜಕಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಅದರಿಂದ ಭಾಜಕವನ್ನು ಅವಶ್ಯವಿರುವಷ್ಟು ಸಲ ಕಳೆದು ಮುಂದಿನ ನಿಜವಾದ ಶೇಷ ಪಡೆಯಿರಿ. ಶೇಷ ೧ ದೊರೆಯುವ ವರೆಗೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮುಂದುವರಿಸಿ.

ನಮಗೆ ಬೇಕಾದದ್ದು ಪುನರಾವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶಗಳೇ ವಿನಾ ಈ ಶೇಷಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲ. ಈ ಸರಣಿಯಿಂದ ಬಲು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅದಕ್ಕಾಗಿ ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾದದ್ದು ಇಷ್ಟು: ಛೇದದ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಪುನರಾವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶಗಳ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ [ನೋಡಿ (೬)]. ಈ ಅಂಕಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತೀ ಶೇಷದ [ಅಥವ ಶೇಷದ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯ] ಗುಣಲಬ್ಧದ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಅವೇ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪುನರಾವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶಗಳು. ೧/೭ ಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಇರುವುದು ಒಂದೇ ಅಂಕಿಯಾದ್ದರಿಂದ ಅದೇ  ಛೇದದ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿ. ಅಂದ ಮೇಲೆ ಪುನರಾವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶಗಳ ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿ ೭ ಆಗಿರಲೇ ಬೇಕು. ಎಂದೇ ಶೇಷಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ೭ ಇಂದ ಗೂಣಿಸಿ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಉತ್ತರ ಪಡೆಯಬೇಕು.

ನಮಗೆ ದೊರೆತಿರುವ ಶೇಷಗಳ ಸರಣಿ: ೩, ೨, ೬, ೪, ೫, ೧

ಆದ್ದರಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತಕ ದಶಮಾಂಶಗಳು: ೧, ೪, ೨, ೮. ೫. ೭

ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಉತ್ತರ:    .೧೪೨೮೫೭ ನೇರಭಾಗಾಹಾರದಿಂದ ಪಡೆದದ್ದೂ ಇದೇ.

೧/೧೩ ಮತ್ತು ೧/೩೧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಶೇಷಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಈ ತಂತ್ರ ಪ್ರಯೋಗದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಪಡೆಯೋಣ.

ತಂತ್ರವೇನೋ ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶ ೧ ಆಗಿರದೇ ಇದ್ದರೆ ಮಾಡುವುದೇನು? ಮುಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ ಉತ್ತರ ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿ.

Advertisements
This entry was posted in ಗಣಿತ-ಕಲಿಯಲು ಬಲು ಸುಲಭ. Bookmark the permalink.

ನಿಮ್ಮದೊಂದು ಉತ್ತರ

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s