ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೧೮

೧೮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ – – – – –

ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಕಾರ – ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಹೇಗೆ? ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರ ಲೀಲಾವತೀ ಗ್ರಂಥದ ೧೦, ೧೧, ೧೨, ಮತ್ತು ೧೩ ನೇ ಅಧ್ಯಾಯಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಕುರಿತು ಬಲು ಸುಲಭವಾದ ವಿಧಾನಗಳ ವಿವರಣೆ ಇದೆ. ಮಿಶ್ರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಭಾಗದ ಛೇದದಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಲಭಿಸಿದ ಗುಣಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅಂಶವಾಗಿಯೂ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಭಾಗದ ಛೇದವನ್ನೇ ಛೇದವಾಗಿಯೂ ಉಳ್ಳ ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಮುಂದುವರಿಯಬೇಕು. ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಇವೆರಡೂ ಇದ್ದರೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಅಂಶದಲ್ಲಿಯೂ ‘೧’ಅನ್ನು ಛೇದದಲ್ಲಿಯೂ ಇಟ್ಟು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಮುಂದುವರಿಯಬೇಕು.

(೧) ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಂಕಲನ/ವ್ಯವಕಲನ: ಕೂಡಿಸಬೇಕಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಛೇದಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವಂತೆ ಮಾಡುವುದು ಮೊದಲನೇ ಕಾರ್ಯ. ಮೊದಲನೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳನ್ನು ಎರಡನೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದದಿಂದಲೂ ಎರಡನೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳನ್ನು ಮೊದಲನೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದದಿಂದಲೂ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಛೇದಗಳು ಸಮನಾಗುತ್ತವೆ. ಛೇದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನವಿದ್ದರೆ ಅದರಿಂದ ಪ್ರತೀ ಛೇದವನ್ನೂ ಭಾಗಿಸಿದರೆ ಲಭಿಸುವ ಭಾಗಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಛೇದಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಈ ಕ್ರಿಯೇ ಮಾಡಿದರೂ ಛೇದಗಳು ಸಮವಾಗುತ್ತವೆ. ತದನಂತರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಕಲನ/ವ್ಯವಕಲನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಒಳಪಡಿಸಿ ದೊರೆತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂಶದಲ್ಲಿಯೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದವನ್ನು ಛೇದದಲ್ಲಿಯೂ ಇಟ್ಟು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನವಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ರದ್ದುಪಡಿಸಿದರೆ ದೊರೆಯುವುದೇ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಉತ್ತರ. ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು ತಮ್ಮ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಅವರದೇ ಆದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಕೇಳಿದ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನೇ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನೀಡಿದ್ದೇನೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

(೨) ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಹಾರ: ಗುಣಿಸಬೇಕಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಅಂಶಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ ಅಂಶವಾಗಿಯೂ ಛೇದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಛೇದವಾಗಿಯೂ ಉಳ್ಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯೇ ಗುಣಿಸಬೇಕಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ. ಈ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನವಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ರದ್ದು ಪಡಿಸಬೇಕು.

ಭಾಗಾಹಾರದಲ್ಲಿ ಭಾಜಕದ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮದಿಂದ ಭಾಜ್ಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಗುಣಿಸಿದರೆ ದೊರೆಯುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ. ಈ ಭಾಗಲಬ್ಧದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತನವಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ರದ್ದು ಪಡಿಸಬೇಕು.

(೩) ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿ: ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯೂ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಭಾಗವನ್ನು ಆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗೇ ಕೂಡಿಸಬೇಕಾದರೆ ಆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಭಾಗದ ಛೇದಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಉತ್ತರದ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ತದನಂತರ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಉತ್ತರದ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ. ಈ ತಂತ್ರದಲ್ಲಿ ಯುಕ್ತ ಬದಲಾವಣೆ ಮಾಡಿ ಯಾವುದೇ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಭಾಗವನ್ನು ಆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಕಳೆಯಲೂಬಹುದು.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಇನ್ನಷ್ಟು ವಿಶಿಷ್ಟ ತಂತ್ರಗಳು ಮುಂದಿನ ಕಂತಿನಲ್ಲಿ.

Advertisements
This entry was posted in ಗಣಿತ-ಕಲಿಯಲು ಬಲು ಸುಲಭ. Bookmark the permalink.

ನಿಮ್ಮದೊಂದು ಉತ್ತರ

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s