ಬನ್ನಿ ಕಲಿಯೋಣ, ನಮ್ಮ ಪ್ರಾಚೀನರ ಗಣಿತೀಯ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು – ೨

೨. ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ

‘ವೇದಿಕ್ ಮ್ಯಾತ್ ಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್’ನಲ್ಲಿ ಈ ಕುಶಲತೆಗಳ ಕುರಿತಾದ ವಿವರಣೆಗಳಿಲ್ಲ. ವ್ಯವಕಲನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ೧೦ ರ ಅಪವರ್ತ್ಯದಿಂದ (ಉದಾ: ೧೦೦೦, ೧೦೦೦೦೦ —-) ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕಾದಾಗ ಅನುಸರಿಸಬಹುದಾದ ಕಿರುಹಾದಿಯೊಂದನ್ನು ‘ವೇದಗಣಿತ’ದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದೆ. ಈ ಗಣಿತ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಈಗ ನಾವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತಿರುವ ವಿಧಾನಗಳಿಗಿಂತ ಸುಲಭವಾದ ವಿಧಾನಗಳು ಇಲ್ಲದಿರುವುದು ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಿರಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನಗಳು ನಮ್ಮ ಪುರಾತನರಿಗೂ ತಿಳಿದಿದ್ದವು. ಇವು ಪಾಶ್ಚಾತ್ಯರ ಕೊಡುಗೆ ಅಲ್ಲ. ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ‘ಸ್ಪೀಡ್ ಮ್ಯಾತ್ಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್’, ‘ಮೆಂಟಲ್ ಅರಿತ್ಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್’ ಎಂಬ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಹಣ ಸಂಪಾದನೆಗಾಗಿ ಒದಗಿಸುತ್ತಿರುವ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತಿರುವ ಕಿರುಹಾದಿಗಳಿಗೂ ‘ವೇದಗಣಿತ’ದ ಹಣೆಪಟ್ಟಿ ತಗುಲಿಸಿ ಮಾರಾಟ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ.

‘ಲೀಲಾವತೀ’ಯಲ್ಲಿ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದ ವಿವರಣೆಗೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುವ ೩ ನೆಯ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಈ ಕುರಿತಾಗಿ ‘ಅಥ ಸಂಕಲಿತ-ವ್ಯವಕಲಿತಯೋಃ ಕರಣಸೂತ್ರಂ ವೃತ್ತಾರ್ಧಮ್’ (ಅರ್ಧ ಪದ್ಯಪಂಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಕಲನ -ವ್ಯವಕಲನ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಸೂತ್ರ ಈಗ), ಎಂದು ಘೋಷಿಸಿದ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು

ಒಂದು ಪಂಕ್ತಿಯ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ [(ಸೂತ್ರಮ್) ಕಾರ್ಯಃಕ್ರಮಾದುತ್ಕ್ರಮತೋಥವಾಙ್ಕಯೋಗೋ ಯಥಾ ಸ್ಥಾನಕಮಂತರಂ] ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷಾ ಪ್ರಶ್ನೆ ನೀಡಿ ಅಧ್ಯಾಯ ಸಮಾಪ್ತಿಗೊಳಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸಂಕಲನ ಅಥವ ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಅಥವ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಸ್ಥಾನಬೆಲೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಮಾಡಬೇಕು ಎಂಬುದು ಈ ಸೂತ್ರದ ತಿರುಳು. ಶಾಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಬಲದಿಂದ ಎಡಮುಖವಾಗಿ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಕಲಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ ‘ಲೀಲಾವತೀ’ಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಪರೀಕ್ಷಾಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನೇ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅದರ ಭಾವಾನುವಾದ ಇಂತಿದೆ:

‘ಬುದ್ಧಿವಂತ ಬಾಲೆ ಲೀಲಾವತಿಯೇ, ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದಲ್ಲಿ ನೀನು ಕುಶಲಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ೨, ೫, ೩೨, ೧೯೩, ೧೮, ೧೦, ೧೦೦ ಇವುಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ೧೦,೦೦೦ ದಿಂದ ಕಳೆದರೆ ಫಲಿತಾಂಶವೇನು ಎಂಬುದನ್ನು ನನಗೆ ಹೇಳು’

ಇಂಥ ಸಂಕಲನದ/ವ್ಯವಕಲನದ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಹೇಳಿಕೊಟ್ಟದ್ದು ಹೀಗೆ (ಇದಕ್ಕೆ ಕಿರುಹಾದಿ ಇಲ್ಲ):

ಮೊತ್ತ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಕೆಳಗೆ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಒಂದೇ ಸ್ಥಾನಬೆಲೆಯುಳ್ಳ ಅಂಕಿಗಳು ಒಂದೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಬರೆಯಿರಿ. ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೆಳಗೆ ಅಡ್ಡಗೆರೆಯೊಂದನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ. ಲಭಿಸುವ ಮೊತ್ತ ೧೦ ಕ್ಕಿಂತ ಕಮ್ಮಿ ಇದ್ದರೆ ಅದನ್ನೂ ೧೦ ಅಥವ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಆಗಿದ್ದರೆ ಮೊತ್ತದ ಏಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿಯನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕದ ಏಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿಗಳ ನೇರದಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಬರೆದು ಮೊತ್ತದ ದಶಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕದ ದಶಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕಿಗಳ ನೀಟಸಾಲಿಗೆ ಒಯ್ದು ಮೇಲ್ಗಡೆ ಬರೆಯಿರಿ. ದಶಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸುವಾಗ ಹೀಗೆ ಸಾಲಗೆ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾದ ಅಂಕಿಯನ್ನೂ ಸೇರಿಸಿಕೊಂಡು ಕೂಡಿಸಬೇಕು. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಾನದ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದಾಗ ಲಭಿಸುವ ಮೊತ್ತ ೧೦ ಕ್ಕಿಂತ ಕಮ್ಮಿ ಇದ್ದರೆ ಅದನ್ನೂ ೧೦ ಅಥವ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಆಗಿದ್ದರೆ ಮೊತ್ತದ ಏಕಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿಯನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕದ ಆಯಾ ಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿಗಳ ನೇರದಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಬರೆದು ಮೊತ್ತದ ದಶಸ್ಥಾನದ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕದ ಮುಂದಿನ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕಿಗಳ ನೀಟಸಾಲಿಗೆ ಒಯ್ದು ಮೇಲ್ಗಡೆ ಬರೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೂ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿ.

ವ್ಯವಕಲನದ ಲೆಕ್ಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕೋ ಅದನ್ನು ಮೊದಲೂ ಅದರ ಕೆಳಗೆ ಕಳೆಯಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೂ ಬರೆದು ಅಡ್ಡಗೆರೆ ಎಳೆಯಬೇಕು. ಬರೆಯುವಾಗ ಒಂದು ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸ್ಥಾನಬೆಲೆಯ ಅಂಕಿಗಳಿರಬೇಕು. ಏಕಸ್ಥಾನದ ನೀಟಸಾಲಿನಿಂದಾರಂಭಿಸಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಲ್ಲ ನೀಟಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲಿರುವ ಅಂಕಿಯಿಂದ  ಕೆಳಗಿರುವ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಕಳೆದು ಲಭಿಸಿದ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಅದೇ ನೀಟಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅಡ್ಡಗೆರೆಯ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಬೇಕು. ಮೇಲಿನ ಅಂಕಿ ಕೆಳಗಿನದ್ದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಮೇಲಿನ ಅಂಕಿಗೆ ೧೦ ಕೂಡಿಸಿದ ಬಳಿಕ ಕಳೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇದ್ದ ಅಂಕಿಯಿಂದ ೧ ಕಳೆದು ತದನಂತರ ಕಳೆಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಮುಂದುವರಿಸಬೇಕು.

ವ್ಯವಕಲನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ೧೦ ರ ಅಪವರ್ತ್ಯದಿಂದ (ಉದಾ: ೧೦೦೦, ೧೦೦೦೦೦ —-) ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದನ್ನು ಕಳೆಯಬೇಕಾದಾಗ ಅನುಸರಿಸಬಹುದಾದ ಕಿರುಹಾದಿಯೊಂದನ್ನು ‘ವೇದಗಣಿತ’ದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದೆ ಎಂದು ಈ ಮುನ್ನವೇ ಹೇಳಿದ್ದೇನಲ್ಲವೆ?. ತತ್ಸಂಬಧಿತ ಸೂತ್ರ ಇಂತಿದೆ: ‘ಎಲ್ಲವೂ ಒಂಭತ್ತರಿಂದ ಕೊನೆಯದ್ದು ಹತ್ತರಿಂದ’. ಕಳೆಯಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಯನ್ನು ೧೦ ರಿಂದಲೂ ಉಳಿದ ಪ್ರತೀಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಯನ್ನು ೯ ರಿಂದಲೂ ಕಳೆಯಿರಿ ಎಂದು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ: ೧೦೦೦೦ ದಿಂದ ೫೭೯೨ ಅನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ.

ಅಕಸ್ಮಾತ್, ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿ ೦ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಉತ್ತರದಲ್ಲಿಯೂ ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ೦ ಬರೆದು ಮುಂದಿನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಸೂತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸಿ (ಇದಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆ ಮೇಲಿನ ಲೆಕ್ಕ). ೦ ಇಂದ ೦ ಯನ್ನು ಕಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯ ಮತ್ತು ಕಳೆದರೆ ಏನು ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆಯಲ್ಲವೇ?

ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಸ್ಥಾನಬೆಲೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಮಾಡಬಹುದು ಅಂದಿದ್ದಾರೆ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯರು. ವೃತ್ತಿಪರ ‘ಮೆಂಟಲ್ ಮ್ಯಾತ್ಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್’ ನಿಪುಣರು ಮಾಡುವುದು ಇದನ್ನೇ! ಹೇಗೆ? ಈ ಮುನ್ನ ಮಾಡಿದ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ ಲೆಕ್ಕವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಇಟ್ಟುಕೊಂಡು ಹೇಗೆಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ.

ಸಂಕಲನ ಲೆಕ್ಕ ಇಂತಿದೆಯಲ್ಲವೇ?

ಮೊದಲು ಶತಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಯೇ ಕೂಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ – ಒಂದು ನೂರು ಕೂಡಿಸು ಒಂದು ನೂರು, ಇನ್ನೂರು.

ತದನಂತರ ಆ ಅಂತಿಮ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ದಶ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಯೇ ಕೂಡಿಸುತ್ತಾ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ – ಇನ್ನೂರು ಕೂಡಿಸು ಮೂವತ್ತು = ಇನ್ನೂರಮೂವತ್ತು. ಇನ್ನೂರಮೂವತ್ತು ಕೂಡಿಸು ತೊಂಭತ್ತು = ಮುನ್ನೂರ ಇಪ್ಪತ್ತು. ಮುನ್ನೂರಿಪ್ಪತ್ತು ಕೂಡಿಸು ಹತ್ತು = ಮುನ್ನೂರಮೂವತ್ತು. ಮುನ್ನೂರಮೂವತ್ತು ಕೂಡಿಸು ಹತ್ತು = ಮುನ್ನೂರನಲುವತ್ತು. ಮುನ್ನೂರಮೂವತ್ತು ಕೂಡಿಸು ಸೊನ್ನೆ = ಮುನ್ನೂರನಲುವತ್ತು.

ತದನಂತರ ಅಂತಿಮ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಏಕಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಕೂಡಿಸಿ – ಮುನ್ನೂರನಲುವತ್ತು ಕೂಡಿಸು ಎರಡು = ಮುನ್ನೂರನಲುವತ್ತೆರಡು. ಮುನ್ನೂರನಲುವತ್ತೆರಡು ಕೂಡಿಸು  ಐದು = ಮುನ್ನೂರನಲವತ್ತೇಳು. ಮುನ್ನೂರನಲವತ್ತೇಳು ಕೂಡಿಸು ಎರಡು = ಮುನ್ನೂರನಲವತ್ತೊಂಭತ್ತು. ಮುನ್ನೂರನಲವತ್ತೊಂಭತ್ತು ಕೂಡಿಸು ಮೂರು = ಮುನ್ನೂರೈವತ್ತೆರಡು. ಮುನ್ನೂರೈವತ್ತೆರಡು ಕೂಡಿಸು ಎಂಟು = ಮುನ್ನೂರ ಅರುವತ್ತು. ಮುನ್ನೂರ ಅರುವತ್ತು ಕೂಡಿಸು ಸೊನ್ನೆ ಕೂಡಿಸು ಸೊನ್ನೆ = ಮುನ್ನೂರ ಅರುವತ್ತು.

ವ್ಯವಕಲನ ಲೆಕ್ಕ ಇಂತಿದೆಯಲ್ಲವ?

ಹತ್ತುಸಾವಿರದಿಂದ ಮುನ್ನೂರು ಕಳೆದರೆ ಒಂಭತ್ತುಸಾವಿರದಏಳುನೂರು, ಒಂಭತ್ತುಸಾವಿರದ ಏಳುನೂರರಿಂದ ಅರುವತ್ತು ಕಳೆದರೆ ಒಂಭತ್ತುಸಾವಿರದ ಆರುನೂರನಲವತ್ತು, ಒಂಭತ್ತುಸಾವಿರದ ಆರುನೂರನಲವತ್ತರಿಂದ ಸೊನ್ನೆ ಕಳದರೆ ಒಂಭತ್ತುಸಾವಿರದ ಆರುನೂರನಲವತ್ತು.

ಈ ತನಕ ನೀವು ಈ ವಿಧಾನ ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡದೇ ಇದ್ದದ್ದರಿಂದ ಇದು ಕಷ್ಟವೆಂದು ಅನ್ನಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಇದೆ. ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿ ನೋಡಿ, ಪುಟ್ಟ ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಕಾಗದ ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಇಲ್ಲದೆಯೇ, ಕ್ಯಾಲುಕ್ಯುಲೇಟರ್ ಇಲ್ಲದೆಯೇ ನೀವೇ ಮಾಡಬಲ್ಲಿರಿ.

ಅಭ್ಯಾಸ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಾಧನೆ ಮಾಡದೇ ಇದ್ದರೆ ಯಾವ ಕುಶಲತೆಯೂ ಸಿದ್ಧಿಸದು ಎಂಬುದು ನಿಮಗೆ ಗೊತ್ತಿದೆ ಎಂದು ನಂಬುತ್ತೇನೆ.

ನಾವು ಈ ತನಕ ಕಲಿತದ್ದರಿಂದ ಈ ತಂತ್ರ (ಕೊನೆಯದ್ದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಭಿನ್ನವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಿರಾಶರಾಗಬೇಡಿ. ಈ ಕುಶಲತೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಲಿಯಬೇಕೆಂಬುದು ನಮ್ಮ ಪೂರ್ವಿಕರಿಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು. ಇವು ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಅಥವ ಪಾಶ್ಚಾತ್ಯರ ಕೊಡುಗೆಗಳಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿದು ಹೆಮ್ಮೆ ಪಡಿ.

ಮುಂದಿನ ಕಂತಿನಿಂದ ನಮ್ಮ ಪೂರ್ವಿಕರ ಪ್ರತಿಭೆಗೆ ತಲೆದೂಗುವಂತೆ ಮಾಡಬಲ್ಲ ಗುಣಾಕಾರ ಸಂಬಂಧಿತ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇನೆ.

Advertisements
This entry was posted in ಗಣಿತ-ಕಲಿಯಲು ಬಲು ಸುಲಭ. Bookmark the permalink.

ನಿಮ್ಮದೊಂದು ಉತ್ತರ

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s